傅里叶-贝塞尔级数展开是一种以零阶贝塞尔函数为正交基的变换方法，特别适合处理定义在有限区间上的非平稳信号，因为贝塞尔函数在边界处自然衰减，不需要对信号进行周期延拓。S变换（Stockwell Transform）是一种结合了短时傅里叶变换和小波变换优点的时频分析方法，它通过频率自适应的高斯窗同时获得时间和频率分辨率。将两者结合，就形成了傅里叶-贝塞尔域S变换。该算法先将信号投影到贝塞尔基函数上得到傅里叶-贝塞尔级数展开系数，再在傅里叶-贝塞尔级数域中构造一个频率自适应的Toeplitz矩阵与高斯窗相乘，最后通过逆变换得到时频矩阵。这样做的好处是：既利用了贝塞尔基函数处理边界效应的天然优势，又继承了S变换的高时频分辨率特点，尤其适合分析心电、地震等非平稳且边界效应显著的信号。整个算法无需预设参数，能自适应地提取信号的时频特征。

算法步骤

第一步：计算贝塞尔函数的零点。通过牛顿迭代法求解零阶贝塞尔函数的根，得到一系列递增的零点。这些零点决定了基函数的频率分布。

第二步：构造贝塞尔基矩阵。将每个零点对应的基函数在时间轴上的取值计算出来，形成基矩阵。每一行代表一个基函数，每一列对应一个样本点。

第三步：计算傅里叶-贝塞尔级数展开系数。利用正交性公式，将信号投影到每个基函数上，得到系数a3。这个系数反映了信号在不同频率成分上的能量大小。

第四步：在傅里叶-贝塞尔级数域构建高斯加权矩阵。先用系数a3构造一个Toeplitz矩阵（实现类似卷积的结构），再根据频率构造高斯窗矩阵，将两者逐点相乘。这一步相当于在变换域对系数进行局部平滑，实现频率自适应。

第五步：逆变换得到时频矩阵。将加权后的系数矩阵乘以基矩阵，取绝对值，得到二维的时频幅度谱。每一行对应一个时间点，每一列对应一个频率点，值的大小表示该时刻该频率的强度。

第六步：频率轴转换。将贝塞尔零点映射到实际频率值（Hz），得到可读的频率坐标，便于绘图和分析。