提出一种融合传统统计特征和黎曼几何分析的轴承故障诊断方法。

首先，从原始振动信号中提取时域波形并计算偏度、峭度等统计量，通过核密度估计绘制幅值概率密度曲线，直观比较不同故障状态下的分布特性。

在此基础上，引入黎曼几何视角：将信号分段后进行相空间重构，构造表征系统动力学的协方差矩阵，这些矩阵位于对称正定流形上。

利用对数欧几里得框架，将流形上的点映射到切空间，从而将复杂的非线性流形问题转化为欧几里得空间中的线性分析。通过计算全局对数均值作为参考点，提取各窗口的切空间特征，并借助PCA降维实现高维特征的可视化，有效展示不同状态在几何空间中的分布模式。

同时，通过状态内对数欧几里得距离的均值和标准差，量化各故障类型的内部稳定性。实验结果表明，该方法能够准确捕捉内圈、外圈故障及正常状态的稳定结构，而滚动体故障因强非平稳性导致特征分散，揭示了不同故障机理对相空间结构的影响。算法无需机器学习模型，完全基于信号处理和几何分析，具有较强的可解释性和泛化能力，为机械故障诊断提供了一种新颖的几何特征提取框架。

算法步骤

数据读取与预处理：从CWRU轴承数据集的MAT文件中读取加速度振动信号，去除直流分量（减去均值），得到零均值的时域序列。

时域波形绘制：将预处理后的信号绘制成时域波形图，直观展示振动幅值随时间的变化，并标注对应轴承状态。

幅值概率密度分析

计算信号的均值、标准差、偏度和峭度等统计特征，并输出打印。

绘制归一化直方图（密度归一化，使面积为1）。

采用高斯核密度估计（KDE）拟合信号的概率密度曲线，并叠加绘制。

可选地绘制理论正态分布曲线作为对比，评估信号偏离高斯分布的程度。

对每种状态分别生成包含时域图和概率密度图的子图，并保存。

多状态概率密度对比：将所有四种轴承状态（内圈故障、滚动体故障、外圈故障、正常状态）的核密度估计曲线绘制在同一张图中，直观比较不同状态下幅值分布的差异。

黎曼几何分析准备

对每种状态的信号，设置嵌入维度、延迟时间、窗口长度和滑动步长等参数。

对每个滑动窗口内的数据段进行相空间重构（Takens嵌入），得到延迟向量矩阵。

计算每个窗口内延迟向量矩阵的协方差矩阵（样本协方差，无偏），得到一系列对称正定矩阵，这些矩阵位于黎曼流形上。

对数欧几里得框架下的特征提取

将所有状态的协方差矩阵合并，计算全局对数欧几里得均值：先对每个协方差矩阵取矩阵对数，再求算术平均，最后通过矩阵指数映射回流形，得到参考点矩阵。

以该参考点为切空间原点，将每个协方差矩阵通过矩阵对数映射到切空间，得到切向量（对称矩阵）。

提取切向量的上三角部分（包含对角线）作为该窗口的特征向量，从而将流形上的点转化为欧几里得空间中的特征。

降维与可视化

将所有窗口的特征向量拼接，使用主成分分析（PCA）将高维特征降至二维。

绘制二维散点图，用不同颜色标记不同轴承状态的样本点，观察其在切空间投影后的可分性。

状态内变异量化

对每种状态单独计算其所有协方差矩阵的对数欧几里得均值。

计算该状态下每个协方差矩阵到该均值的对数欧几里得距离（Frobenius范数），并统计这些距离的均值与标准差，以此量化状态内部的结构稳定性。

内圈故障 - 幅值概率密度 - 均值: -0.0000, 标准差: 0.3136, 偏度: -0.0132, 峭度: 2.2911

内圈故障 生成了 121 个协方差矩阵
滚动体故障 - 幅值概率密度 - 均值: 0.0000, 标准差: 0.1336, 偏度: 0.1638, 峭度: 11.8587
滚动体故障 生成了 121 个协方差矩阵
外圈故障 - 幅值概率密度 - 均值: -0.0000, 标准差: 0.7976, 偏度: 0.0834, 峭度: 1.0903
外圈故障 生成了 121 个协方差矩阵
正常状态 - 幅值概率密度 - 均值: 0.0000, 标准差: 0.0647, 偏度: -0.1275, 峭度: -0.0428
正常状态 生成了 484 个协方差矩阵
全局对数均值矩阵（参考点）已计算。


--- 状态内变异（平均对数欧几里得距离）---
内圈故障: 平均距离 = 0.1456 ± 0.0473
滚动体故障: 平均距离 = 1.0045 ± 0.6759
外圈故障: 平均距离 = 0.1976 ± 0.0675
正常状态: 平均距离 = 0.2783 ± 0.0992