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解题思路

对于“板凳龙”闹元宵的数学建模问题，我们需要通过逐步分析问题，建立数学模型，并利用编程求解。以下是针对题目各部分的详细解题思路：

问题1

解题思路：

1. 理解螺线运动：首先明确螺线的数学表达式，通常使用极坐标形式 r=a+bθ 或参数方程形式来描述。题目已给出螺距为55 cm，即每旋转一周，径向增加55 cm。

2. 计算每秒位置：从龙头开始，每秒沿着螺线前进1 m（即100 cm），计算每一秒龙头及龙身、龙尾各节点的位置。

3. 计算速度：由于龙头速度已知，其他部分的速度根据其在螺线上的位置计算其切线速度。

4. 保存数据：将每秒的位置和速度数据保存到result1.xlsx文件中。

问题2

解题思路：

1. 碰撞检测：分析相邻板凳在螺线运动中的相对位置，判断是否存在碰撞的风险。

2. 终止条件：找到最后一个不发生碰撞的时间点作为终止时刻。

3. 计算终止时位置和速度：计算该时刻龙头及龙身、龙尾各节点的位置和速度。

4. 保存数据：将结果保存到result2.xlsx文件中。

问题3

解题思路：

1. 确定最小螺距：考虑调头空间的大小和形状，以及龙头沿螺线进入调头空间的路径，通过几何关系确定最小螺距。

2. 路径规划：设计龙头从盘入螺线到调头空间边界的路径。

问题4

解题思路：

1. 分析调头路径：根据题目描述的S形曲线调头路径，建立几何关系，计算圆弧的半径和圆心位置。

2. 模拟运动：模拟龙头从调头开始到完成调头的全过程，计算每秒的位置和速度。

3. 优化调头路径：尝试调整圆弧参数，观察是否能在保持相切的情况下缩短调头路径。

4. 保存数据：将结果保存到result4.xlsx文件中。

问题5

解题思路：

1. 分析速度限制：考虑龙头以不同速度行进时，各节点速度的变化情况。

2. 寻找最大速度：通过模拟或数学推导，找到龙头的最大行进速度，使得所有节点的速度均不超过2 m/s。

解题代码（部分示例）

由于篇幅限制，这里只给出问题1和问题2的部分代码示例（假设使用Python和NumPy库）。

问题1代码示例：

python复制代码

import numpy as np

import pandas as pd

# 螺线参数

pitch = 0.55 # 螺距，单位m

speed = 1 # 龙头速度，单位m/s

num_ections = 223

# 初始位置和角度

r0 = 0

theta0 = 0 # 初始角度，需要转换为与螺线相匹配的起始角度