​一、案例介绍

本案例实现了下述二维三角形区域的泊松方程的Matlab有限元编程求解，边界条件包含了第一类Direchliet和第二类Neumann边界条件，采用的单元为三角形单元，具体方程形式如下图，介绍了泊松方程有限元求解基本原理，将Matlab求解的结果与Comsol求解的结果进行对比，证明了本Matlab求解程序的准确性。提供案例源码供大家练习。

你将获得：二维三角形区域的泊松方程有限元求解Matlab源码+说明文本

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二、原理说明

根据变分原理，平面三角形区域内无体力的泊松方程的泛函表达式为：

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其中，q，h，f为边界条件系数。

将求解域离散，节点u值通过形函数表示：

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采用三角形单元，在面积坐标系中，形函数为：

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将形函数表示的u值代入泛函表达式，根据泛函取极值，其一阶变分为0可得有限元方程：

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其中[K]表示整体刚度矩阵，由单元的[Ke]矩阵和[He]矩阵组装得到；[P]表示边界条件矩阵，由边界单元的[PeH]矩阵和[PeQ]矩阵组装得到，具体为：

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三、程序介绍

将压缩文件解压后放入matlab运行目录，运行主函数“mian”便可得到计算结果，结果包括：

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1．域D的网格划分情况（来自于“element.txt”和“node.txt”）：

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2．变量u在D域中的分布：

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3．将u在D域中的分布记录为文本文件，第一列表示x值，第二列为y值，第三列为u值。

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程序的子函数共有三个，分别为：“KeCalculate.m”用于计算公式(5)；“HeCalculate.m”用于计算公式(6)；“PeCalculate.m”用于计算公式(7)(8)。程序中矩阵的装配对应公式(9)(10)。

边界条件数值通过三个系数q，h，f控制，程序中通过乘大数法定义BC边界条件，设置h =1e8，f=0；AB边界条件设置q=1；AC边界条件设置q=0。

具体过程在程序中都写好了注释。

三、程序计算结果和COMSOL商用有限元软件对比：

Matlab计算结果

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Comsol计算结果

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结果一致，可验证准确性。

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